180* На сторонах угла ХОУ отмечены точки А, В, С и D так, что ОА =ОВ, АС = BD (рис. 103). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ – биссектриса угла ΧΟΥ. Опишите способ построения биссек- трисы угла, основанный на этом факте.

Для доказательства того, что луч OE является биссектрисой угла XOY, рассмотрим треугольники OAD и OBC.

Дано:

1. OA = OB
2. AC = BD

Тогда:

OC = OA + AC = OB + BD = OD

Рассмотрим треугольники OAD и OBC:

1. OA = OB (по условию)
2. OD = OC (так как OC = OA + AC = OB + BD = OD)
3. ∠O - общий

Следовательно, треугольники OAD и OBC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что:

∠OAD = ∠OBC

∠ODA = ∠OCB

Теперь рассмотрим треугольники ACE и BDE:

1. AC = BD (по условию)
2. ∠OAD = ∠OBC (доказано выше)
3. ∠ODA = ∠OCB (доказано выше)

Тогда треугольники ACE и BDE равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников ACE и BDE следует, что AE = BE и CE = DE.

Теперь рассмотрим треугольники OAE и OBE:

1. OA = OB (по условию)
2. AE = BE (доказано выше)
3. OE - общая сторона

Следовательно, треугольники OAE и OBE равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников OAE и OBE следует, что ∠AOE = ∠BOE.

Таким образом, луч OE является биссектрисой угла XOY.

Способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте:

1. На сторонах угла XOY отложите равные отрезки OA и OB.
2. От точек A и B отложите отрезки AC и BD так, чтобы AC = BD.
3. Проведите прямые AD и BC, которые пересекутся в точке E.
4. Проведите луч OE. Этот луч будет биссектрисой угла XOY.

Ответ: Доказано, способ построения описан.