8. На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Пусть $$ \angle BAC = 2\alpha $$, тогда $$ \angle BAD = \angle CAD = \alpha $$.

Так как $$ AB = AD $$, треугольник $$ ABD $$ равнобедренный, и $$ \angle ABD = \angle ADB $$.

Сумма углов треугольника $$ ABD $$ равна 180°, поэтому:

$$ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180° $$ $$ \alpha + 2 \angle ADB = 180° $$ $$ \angle ADB = \frac{180° - \alpha}{2} = 90° - \frac{\alpha}{2} $$

Угол $$ BDC $$ является внешним углом для треугольника $$ ABD $$ при вершине $$ D $$, поэтому:

$$ \angle BDC = 160° $$

Так как $$ \angle ADB + \angle BDC = 180° $$, (смежные углы)

Тогда угол ADB равен

$$ \angle ADB = 180° - 160° = 20° $$

Подставляем в уравнение для угла ADB:

$$ 20° = 90° - \frac{\alpha}{2} $$ $$ \frac{\alpha}{2} = 90° - 20° = 70° $$ $$ \alpha = 140° $$

Тогда угол BAC равен:

$$ \angle BAC = 2\alpha = 2 \cdot 140° = 280° $$

Но такой угол не может существовать, так как угол BDC = 160 градусов.

Заметим, что угол BDC - внешний угол треугольника ADC. Следовательно, \(\angle BDC = \angle DAC + \angle ACD \), и так как \( AD = AC \), то \(\angle ADC = \angle ACD \).Тогда \(\angle DAC = \alpha \), а \(\angle ACD = \frac{160}{2} = 80 \) градусов. Из \(\angle DAC = 160 - \angle ACD \) следует \(\alpha = 160 - 80 = 80 \).

Так как \(\angle BAC = 2\alpha \), следовательно \(\angle BAC = 2 \cdot 80 = 160 \) градусов. Что тоже не может существовать.

Теперь рассмотрим треугольник BDC. В нем \(\angle BDC = 160 \) градусам, а следовательно сумма углов DBC и BCD равна 20 градусам. Угол ABD = углу ADB.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC=x. AD - биссектриса. Тогда \(\angle BAD = \angle CAD = x/2 \). AB=AC=AD. Тогда треугольники ABD и ACD - равнобедренные. Следовательно, \(\angle ABD = \angle ADB \) и \(\angle ACD = \angle ADC \).

Пусть \(\angle BAC = x \). Тогда \(\angle ABD = (180 - x/2)/2 = 90 - x/4 \). Также \(\angle ACB = (180 - x)/2 = 90 - x/2 \). Учитывая, что \(\angle BDC = 160 \), получаем \(\angle ADB = 180 - 160 = 20 \). Тогда \(90 - x/4 = 20 \), откуда \(x/4 = 70 \) и \(x = 280 \), что невозможно.

Ошибка в условии или в чертеже.

Решим задачу, если угол BDC = 80 градусам.

Если угол BDC = 80, тогда угол ADB равен 100 градусам, Тогда \(90 - x/4 = 100 \), откуда \(x/4 = -10 \) и \(x = -40 \), что невозможно.

Пусть угол BDC равен y. Тогда \(\angle ADB = 180 - y \). \(\angle ABD = (180 - x/2)/2 = 90 - x/4 \). Получаем \(90 - x/4 = 180 - y \), откуда \(x = 4y - 360 \). Чтобы x был положительным, y должно быть больше 90.

Ответ: Невозможно решить с данными условиями. Вероятно, ошибка в условии или чертеже.