На стороне AB треугольника ABC отметили точку K. Точки M и P — середины отрезков CB и CK соответственно. Известно, что прямые AP и KM параллельны. Докажите, что AK : KB = 1 : 2.

Введём координаты: пусть \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), а \(K=(t,0)\). Обозначим \(C=(x,y)\), где \(y\ne0\), поскольку треугольник невырожденный.

Так как \(P\) — середина \(CK\), то \(P=\left(\frac{x+t}{2},\frac{y}{2}\right)\). Поэтому \(\overrightarrow{AP}=\left(\frac{x+t}{2},\frac{y}{2}\right)\).

Так как \(M\) — середина \(CB\), то \(M=\left(\frac{x+1}{2},\frac{y}{2}\right)\). Следовательно, \(\overrightarrow{KM}=\left(\frac{x+1-2t}{2},\frac{y}{2}\right)\).

Из \(AP\parallel KM\) векторы пропорциональны. Их вторые координаты равны и ненулевые, значит, коэффициент пропорциональности равен 1. Тогда \(x+t=x+1-2t\), откуда \(3t=1\) и \(t=\frac13\).

При \(AB=1\) получаем \(AK=t=\frac13\), а \(KB=1-t=\frac23\). Поэтому \(AK:KB=\frac13:\frac23=1:2\).

Что и требовалось доказать.