Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 10 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

Пусть большее основание равно 10 см. В равнобокой трапеции разность оснований распределяется поровну по краям: горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна (10 − 8) : 2 = 1 см.

Обозначим острый угол при большем основании через α. Диагональ, делящая его пополам, образует с основанием угол α/2. В прямоугольном треугольнике у боковой стороны горизонтальный катет равен 1 см, поэтому длина боковой стороны равна 1 / cos α.

У диагонали горизонтальная проекция равна 9 см. Поскольку она направлена под углом α/2 к основанию, из условия биссектрисы получается cos(α/2) = 9 / (2 · боковая сторона). Вместе с cos α = 1 / (боковая сторона) и формулой cos α = 2cos²(α/2) − 1 получаем длину боковой стороны 8 см.

Тогда периметр равен 8 + 10 + 2 · 8 = 34 см.

Ответ: 34 см.