На стороне AB треугольника АВС отметили точку М так, что BM = CM. Отрезок МК — биссектриса треугольника АМС. Докажите, что МК || BC.

Решение:

Дано: \( \Delta ABC \), M на AB, BM = CM, MK — биссектриса \( \Delta AMC \).

Доказать: MK || BC.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \Delta BMC \). Так как BM = CM, то \( \Delta BMC \) — равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: \( \angle MBC = \angle MCB \).
2. Обозначим \( \angle MBC = \angle MCB = \alpha \).
3. MK — биссектриса \( \Delta AMC \), значит \( \angle AMK = \angle KMC \). Обозначим \( \angle AMK = \angle KMC = \beta \).
4. Рассмотрим \( \Delta ABC \). Угол \( \angle B = \alpha \).
5. Угол \( \angle ACB = \angle MCB + \angle MCA = \alpha + \angle MCA \).
6. Рассмотрим \( \Delta AMC \). Углы в \( \Delta AMC \) равны: \( \angle MAC \) (или \( \angle BAC \)), \( \angle AMC \), \( \angle KMC = \beta \).
7. Угол \( \angle AMC \) является внешним углом \( \Delta BMC \). Поэтому \( \angle AMC = \angle MBC + \angle MCB = \alpha + \alpha = 2\alpha \).
8. Так как \( \angle AMC = 2\alpha \) и MK — биссектриса \( \angle AMC \), то \( \angle KMC = \frac{\angle AMC}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).
9. Мы получили, что \( \angle KMC = \alpha \).
10. Теперь рассмотрим углы \( \angle KMC \) и \( \angle MBC \).
11. \( \angle KMC = \alpha \) и \( \angle MBC = \alpha \).
12. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MK и BC и секущей MC.
13. Так как накрест лежащие углы равны (\( \angle KMC = \angle MBC \)), то прямая MK параллельна прямой BC.

Доказано.