На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что АК = 1/4 KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекают- ся в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см².

Пусть дана параллелограмм ABCD, точка K на стороне AD такая, что AK = 1/4 KD, и диагональ AC пересекает отрезок BK в точке P. Площадь треугольника APK равна 1 см². Нужно найти площадь параллелограмма ABCD.

1. Отношение AK к KD:

   AK = 1/4 KD, следовательно, AK/AD = AK/(AK + KD) = (1/4 KD) / (1/4 KD + KD) = (1/4) / (5/4) = 1/5.

2. Отношение площадей треугольников APK и CDK:

   Треугольники APK и CDK имеют общую высоту (расстояние от точки C до прямой AD). Отношение их площадей равно отношению длин оснований AK и KD:

   S_APK / S_CDK = AK / KD = 1/4

   Так как S_APK = 1 см², то S_CDK = 4 * S_APK = 4 см².

3. Подобие треугольников APK и CPB:

   Треугольники APK и CPB подобны, так как ∠APK = ∠CPB (вертикальные углы) и ∠PAK = ∠PCB (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

   Отношение сторон AK и BC равно AK/BC = AK/AD = 1/5.

   Следовательно, коэффициент подобия k = 1/5.

4. Отношение площадей подобных треугольников APK и CPB:

   S_APK / S_CPB = k² = (1/5)² = 1/25

   S_CPB = 25 * S_APK = 25 * 1 см² = 25 см².

5. Площадь треугольника ABC:

   S_ABC = S_APK + S_CPB + S_AKC

   S_AKC = 5 * S_APK = 5 * 1 = 5 см²

   S_ABC = 1 + 25 + 5 = 31 см².

6. Площадь параллелограмма ABCD:

   Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC:

   S_ABCD = 2 * S_ABC = 2 * 31 см² = 62 см².

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 62 см².