448 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны AE и DE пересекают отрезок BC в точках M и N, причём точка M - середина отрезка АЕ. Докажите, что $$S_{ABCD} = S_{ADE}$$

Доказательство: 1. Обозначим длину стороны AD прямоугольника ABCD как *a*, а длину стороны AB как *h*. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна $$S_{ABCD} = a \cdot h$$. 2. Рассмотрим треугольник ADE. Пусть высота треугольника ADE, опущенная из вершины D на основание AE, равна h'. Тогда площадь треугольника ADE равна $$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h'$$. 3. Так как точка M является серединой отрезка AE, то AM = ME. 4. Заметим, что высота прямоугольника ABCD, т.е. сторона AB, равна расстоянию между параллельными прямыми AD и BC. 5. Учитывая, что AE пересекает BC в точках M и N, можно сказать, что высота h' треугольника ADE равна удвоенной высоте прямоугольника ABCD, то есть $$h' = 2h$$. 6. Также, поскольку M - середина AE, а AE лежит на прямой, пересекающей BC, то проекция AE на AD равна длине AD, то есть AE = a. Следовательно, $$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2h = a \cdot h$$. 7. Таким образом, $$S_{ABCD} = a \cdot h = S_{ADE}$$. Что и требовалось доказать.