305 На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Дано: Треугольник ADC, точка B на AD, BC = BD. Доказать: DC || биссектрисе угла ABC. Решение: 1. Так как BC = BD, треугольник BCD - равнобедренный. Следовательно, \(\angle BCD = \angle BDC\). 2. Пусть \(\angle BCD = \angle BDC = \alpha\). 3. Тогда \(\angle CBD = 180^\circ - 2\alpha\) (сумма углов треугольника BCD). 4. \(\angle ABC = 180^\circ - \angle CBD = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha\) (смежные углы). 5. Пусть BE - биссектриса угла ABC. Тогда \(\angle ABE = \angle CBE = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} (2\alpha) = \alpha\). 6. \(\angle CBE = \alpha\) и \(\angle BCD = \alpha\). Значит, \(\angle CBE = \angle BCD\). 7. Углы CBE и BCD - накрест лежащие при прямых BE и DC и секущей BC. Равенство накрест лежащих углов означает, что BE || DC. Таким образом, прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC. **Развёрнутый ответ для школьника:** В этой задаче нам нужно доказать, что линия DC параллельна линии, делящей угол ABC пополам (биссектрисе). Мы использовали тот факт, что треугольник BCD равнобедренный, и равенство накрест лежащих углов, чтобы доказать параллельность BE и DC.