7. . На стороне АС треугольника АВС нашлись такие точки М и N, что АВ = АМ и СВ СМ (точка N принадлежит отрезку АМ). Известно, что ∠ABC = 80°. Найдите угол MBN.

Обозначим ∠BAC = α и ∠BCA = γ. Так как AB = AM, то треугольник ABM равнобедренный, и ∠AMB = ∠ABM = (180° - α) / 2 = 90° - α/2. Так как CB = CN, то треугольник CBN равнобедренный, и ∠CNB = ∠CBN = (180° - γ) / 2 = 90° - γ/2. Угол ∠MBN = ∠ABC - ∠ABM - ∠CBN = 80° - (90° - α/2) - (90° - γ/2) = 80° - 90° + α/2 - 90° + γ/2 = α/2 + γ/2 - 100°.

В треугольнике ABC: α + γ + 80° = 180°, значит, α + γ = 100°, и (α + γ)/2 = 50°. ∠MBN = 50° - 10° = 40°.

Ответ: 40°.