388. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен: 1) 54°; 2) 112°. Сколько решений имеет задача?

1) Пусть внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 54°. Тогда смежный с ним угол при вершине равен 180° - 54° = 126°. Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны, и их можно найти как (180° - 126°) / 2 = 27°. Таким образом, углы треугольника: 126°, 27°, 27°.

Теперь рассмотрим случай, когда внешний угол при основании равен 54°. Тогда внутренний угол при основании равен 180° - 54° = 126°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому второй угол при основании тоже равен 126°. Но это невозможно, так как сумма двух углов уже превышает 180°.

2) Пусть внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 112°. Тогда угол при вершине равен 180° - 112° = 68°. Углы при основании можно найти как (180° - 68°) / 2 = 56°. Таким образом, углы треугольника: 68°, 56°, 56°.

Теперь рассмотрим случай, когда внешний угол при основании равен 112°. Тогда внутренний угол при основании равен 180° - 112° = 68°. Поскольку треугольник равнобедренный, второй угол при основании также равен 68°. Угол при вершине можно найти как 180° - (68° + 68°) = 44°. Таким образом, углы треугольника: 68°, 68°, 44°.

Следовательно, для первого случая (54°) существует 1 решение, а для второго случая (112°) существует 2 решения.

Ответ: 1) углы: 126°, 27°, 27°, 1 решение; 2) углы: 68°, 56°, 56° и 68°, 68°, 44°, 2 решения.