На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 6, DC = 8. Площадь треугольника АВС равна 42. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \).

Треугольники ABC и ABD имеют общую высоту, опущенную из вершины B на сторону AC.

Пусть \( h \) — высота треугольника ABC, опущенная из вершины B на сторону AC.

Площадь треугольника ABC равна: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \).

Длина основания AC равна сумме длин отрезков AD и DC: \( AC = AD + DC = 6 + 8 = 14 \).

Известно, что \( S_{ABC} = 42 \), поэтому:

\( 42 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h \)

\( 42 = 7h \)

\( h = \frac{42}{7} = 6 \).

Теперь найдём площадь треугольника ABD. Основание треугольника ABD равно AD = 6. Высота, опущенная из вершины B на сторону AD (которая является частью AC), равна \( h = 6 \).

\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h \)

\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \)

\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 36 \)

\( S_{ABD} = 18 \).

Ответ: 18.