2. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка В так, что AD = 4, DC = 8. Площадь треугольника АВС равна 30. Найдите площадь треугольника BCD.

Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин оснований, на которые опущена эта высота.

$$S_{ABC} = 30$$

$$AD = 4$$

$$DC = 8$$

$$AC = AD + DC = 4 + 8 = 12$$

Тогда отношение площадей треугольников $$ABD$$ и $$ABC$$ равно отношению длин отрезков $$AD$$ и $$AC$$.

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Отсюда

$$S_{ABD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 30 = 10$$

Площадь треугольника $$BCD$$ равна разности площадей треугольников $$ABC$$ и $$ABD$$.

$$S_{BCD} = S_{ABC} - S_{ABD} = 30 - 10 = 20$$

Ответ: 20