На стороне $$АС$$ треугольника $$АВС$$ отметили точку $$М$$ так, что $$АМ = ВМ = 2$$. Найдите угол $$АВС$$, если $$AB = 2\sqrt{2}$$, $$BC = 4$$. $$∠ABC$$ = ?

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Так как $$AM = BM = 2$$ и $$AB = 2\sqrt{2}$$, то данный треугольник равнобедренный. Найдем угол $$AMB$$ по теореме косинусов:

$$AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos{\angle AMB}$$

$$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos{\angle AMB}$$

$$8 = 4 + 4 - 8 \cdot \cos{\angle AMB}$$

$$8 = 8 - 8 \cdot \cos{\angle AMB}$$

$$8 \cdot \cos{\angle AMB} = 0$$

$$\cos{\angle AMB} = 0$$

$$\angle AMB = 90^\circ$$

Так как треугольник $$ABM$$ равнобедренный, то углы при основании равны: $$\angle MAB = \angle MBA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$$.

Найдем $$MC$$. Треугольник $$ABM$$ прямоугольный, значит $$AM^2 + BM^2 = AB^2$$

$$\angle AMC = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$BMC$$. $$AC = AM + MC$$. $$MC = AC - AM$$. $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{8 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$.

$$MC = 2\sqrt{6} - 2 = 2(\sqrt{6} - 1)$$.

Найдем косинус угла $$MBC$$:

$$\cos{\angle MBC} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$.

$$\angle MBC = 60^\circ$$.

$$\angle ABC = \angle MBA + \angle MBC = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$$.

Ответ: 105