Основания трапеции $$ABCD$$ равны $$AD = 10$$ и $$BC = 3$$, а диагонали $$AC = 12$$ и $$BD = 5$$. Найдите угол, под которым пересекаются диагонали этой трапеции.

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$ как $$O$$. Обозначим $$\angle AOD = \alpha$$. Тогда $$\angle BOC = \alpha$$, а $$\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \alpha$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то треугольники $$BOC$$ и $$DOA$$ подобны по двум углам. Тогда $$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{10}$$.

Пусть $$BO = 3x$$, тогда $$OD = 10x$$. $$BD = BO + OD = 3x + 10x = 13x = 5$$. Отсюда $$x = \frac{5}{13}$$.

Пусть $$CO = 3y$$, тогда $$OA = 10y$$. $$AC = CO + OA = 3y + 10y = 13y = 12$$. Отсюда $$y = \frac{12}{13}$$.

Рассмотрим треугольник $$AOD$$. В нём $$AD = 10$$, $$AO = 10y = 10 \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{13}$$, $$DO = 10x = 10 \cdot \frac{5}{13} = \frac{50}{13}$$.

Применим теорему косинусов:

$$AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos{\alpha}$$

$$10^2 = (\frac{120}{13})^2 + (\frac{50}{13})^2 - 2 \cdot \frac{120}{13} \cdot \frac{50}{13} \cdot \cos{\alpha}$$

$$100 = \frac{14400}{169} + \frac{2500}{169} - \frac{12000}{169} \cdot \cos{\alpha}$$

$$100 = \frac{16900}{169} - \frac{12000}{169} \cdot \cos{\alpha}$$

$$100 = 100 - \frac{12000}{169} \cdot \cos{\alpha}$$

$$\frac{12000}{169} \cdot \cos{\alpha} = 0$$

$$\cos{\alpha} = 0$$

$$\alpha = 90^\circ$$

Следовательно, $$\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$$. $$\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$.

Ответ: 90