В трапеции $$MNCD$$ с основаниями $$MD$$ и $$NC$$ известны длины сторон $$MN = 9$$, $$NC = 12$$, $$MD = 18$$. Найдите диагональ $$ND$$, если диагональ $$МС = 15$$. $$ND$$ = ?

Рассмотрим трапецию $$MNCD$$. Из условия известно: $$MN = 9$$, $$NC = 12$$, $$MD = 18$$, $$MC = 15$$. Необходимо найти $$ND$$.

Проведем высоту $$NH$$ к основанию $$MD$$. Также проведем высоту $$CK$$ к основанию $$MD$$. Тогда $$HK = NC = 12$$, $$MH + KD = MD - HK = 18 - 12 = 6$$.

Пусть $$MH = x$$, тогда $$KD = 6 - x$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MNH$$. В нём $$NH^2 = MN^2 - MH^2 = 9^2 - x^2 = 81 - x^2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKD$$. В нём $$CK^2 = MC^2 - KD^2 = 15^2 - (6 - x)^2 = 225 - (36 - 12x + x^2) = 189 + 12x - x^2$$.

Так как $$NH = CK$$, то $$NH^2 = CK^2$$, следовательно:

$$81 - x^2 = 189 + 12x - x^2$$

$$12x = 81 - 189$$

$$12x = -108$$

$$x = -9$$

Так как $$MH$$ не может быть отрицательным, то задача не имеет решения при заданных параметрах.

Предположим, что в условии $$MN = 19$$. Тогда $$NH^2 = MN^2 - MH^2 = 19^2 - x^2 = 361 - x^2$$

$$361 - x^2 = 189 + 12x - x^2$$

$$12x = 361 - 189$$

$$12x = 172$$

$$x = \frac{172}{12} = \frac{43}{3}$$

$$NH^2 = 361 - (\frac{43}{3})^2 = 361 - \frac{1849}{9} = \frac{3249 - 1849}{9} = \frac{1400}{9}$$

$$NH = \frac{10\sqrt{14}}{3}$$

$$KD = 6 - \frac{43}{3} = \frac{18 - 43}{3} = -\frac{25}{3}$$

Снова получили отрицательное значение, следовательно задача не имеет решения.

Предположим, что $$MN = 21$$. Тогда $$NH^2 = MN^2 - MH^2 = 21^2 - x^2 = 441 - x^2$$

$$441 - x^2 = 189 + 12x - x^2$$

$$12x = 441 - 189$$

$$12x = 252$$

$$x = 21$$

$$MH = 21$$, что больше $$MD = 18$$, следовательно задача не имеет решения.

Ответ: нет решения