1. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 24 и AD = 31, отмечена точка E так, что \(\angle EAB = 45^\circ\). Найдите ED.

Дано: Прямоугольник ABCD, AB = 24, AD = 31, \(\angle EAB = 45^\circ\). Найти: ED. Решение: 1. Т.к. ABCD - прямоугольник, то \(\angle ABC = 90^\circ\). 2. Рассмотрим \(\triangle ABE\): \(\angle ABE = 90^\circ\), \(\angle EAB = 45^\circ\), следовательно, \(\angle AEB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). 3. Т.к. \(\angle EAB = \angle AEB = 45^\circ\), то \(\triangle ABE\) - равнобедренный, следовательно, AB = BE = 24. 4. Т.к. BC = AD = 31 (противоположные стороны прямоугольника равны), то EC = BC - BE = 31 - 24 = 7. 5. Т.к. ABCD - прямоугольник, то \(\angle C = 90^\circ\). 6. Рассмотрим \(\triangle EDC\): \(\angle C = 90^\circ\), DC = AB = 24, EC = 7. По теореме Пифагора, \(ED = \sqrt{EC^2 + DC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\). Ответ: 25.