9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен \(45^\circ\). Найдите площадь треугольника.

Дано: Прямоугольный треугольник, гипотенуза = 10, один из острых углов = \(45^\circ\). Найти: Площадь треугольника. Решение: 1. Т.к. один из острых углов равен \(45^\circ\), то второй острый угол равен \(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, треугольник равнобедренный. 2. Пусть катеты равны a. Тогда по теореме Пифагора, \(a^2 + a^2 = 10^2\). \(2a^2 = 100\) \(a^2 = 50\) \(a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). 3. Площадь треугольника равна половине произведения катетов: \(S = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25\). Ответ: 25.