На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

Пусть \(B\) — начало отсчёта. Тогда положение точки \(A\) задаётся вектором \(\vec x\), а точки \(C\) — вектором \(\vec y\). В квадрате \(\overrightarrow{AD}=\vec y\), поэтому \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

Диагонали квадрата пересекаются и делятся пополам, значит \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).

Так как \(P\) — середина стороны \(CD\), её радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов концов: \(\overrightarrow{BP}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\frac12(\vec y+\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\vec y\).

Наконец, \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y),\quad \overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y,\quad \overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y.\)