На стороне CD квадрата ABCD постройте точку P так, что CP=PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x=BA и y=BC.

Положим начало координат в точке B. Тогда радиус-векторы точек A и C равны соответственно \(\vec x\) и \(\vec y\), а радиус-вектор D равен \(\vec x+\vec y\).

Точка O — середина диагонали BD, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).

P — середина CD. Следовательно, \(\overrightarrow{BP}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\frac12(\vec y+\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\vec y\).

Тогда \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y),\quad \overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y,\quad \overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).