На стороне CD квадрата ABCD со стороной 1 отмечена точка E так, что CE : ED = 1 : 2. Найдите расстояние от точки C до прямой AE.

Пусть сторона квадрата равна 1. Так как CE : ED = 1 : 2, то $CE = \frac{1}{3}$, а $ED = \frac{2}{3}$. Опустим перпендикуляр CF на прямую AE. Нужно найти длину отрезка CF. Площадь треугольника ACE можно вычислить двумя способами: 1. $S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$, где h – расстояние от точки E до прямой AC. Так как AC = 1 (сторона квадрата), а расстояние от E до AC равно CE = $\frac{1}{3}$, то $S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. 2. $S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot CF$, где CF – искомое расстояние. Чтобы найти AE, рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. По теореме Пифагора, $AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$. Теперь приравняем площади треугольника ACE, выраженные разными способами: $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}}{3} \cdot CF$ $CF = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$. Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{13}$