2. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка М так, что АВ = ВМ. а) Докажите, что АМ – биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, СМ = 4 см.

Дано: ABCD – параллелограмм, M ∈ BC, AB = BM, CD = 8 см, СМ = 4 см.

Доказать: AM – биссектриса угла BAD.

Решение:

1. ∠ABM + ∠MBC = 180° (смежные углы).
2. Рассмотрим треугольник ABM. AB = BM (по условию), следовательно, треугольник ABM – равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. ∠BAM = ∠BMA.
4. ∠ABM = 180° - (∠BAM + ∠BMA) = 180° - 2∠BAM.
5. ∠BAD = ∠BCD (свойство параллелограмма).
6. ∠BAM = ∠MAD (AM – биссектриса угла BAD).
7. BC = BM + CM = AB + CM. Т.к. AB = CD, то BC = CD + CM = 8 + 4 = 12 см.
8. Периметр параллелограмма P = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: а) AM - биссектриса угла BAD, б) периметр равен 40 см.