На уроке математики учитель случайным образом разделил класс из 16 учеников на 4 группы по 4 ученика. Какова вероятность того, что подружки Маша и Даша окажутся в одной группе, если известно, что все ученики имеют разные имена?

Решение:

Общее количество способов разделить 16 учеников на 4 группы по 4 человека равно:

\( N = \frac{16!}{(4!)^4 \cdot 4!} \)

Теперь посчитаем количество способов, при которых Маша и Даша окажутся в одной группе. Сначала выберем группу для них, что можно сделать 4 способами. Затем заполним эту группу, выбрав ещё 2 учеников из оставшихся 14:

\( C_{14}^2 = \frac{14!}{2! \cdot 12!} = \frac{14 \cdot 13}{2} = 91 \)

Осталось 12 учеников, которых нужно разделить на 3 группы по 4 человека:

\( M = \frac{12!}{(4!)^3 \cdot 3!} \)

Количество благоприятных исходов:

\( K = 4 \cdot C_{14}^2 \cdot \frac{12!}{(4!)^3 \cdot 3!} = 4 \cdot 91 \cdot \frac{12!}{(4!)^3 \cdot 3!} \)

Вероятность \( P = \frac{K}{N} = \frac{4 \cdot 91 \cdot \frac{12!}{(4!)^3 \cdot 3!}}{\frac{16!}{(4!)^4 \cdot 4!}} \)

\( P = \frac{4 \cdot 91 \cdot 12! \cdot (4!)^4 \cdot 4!}{(4!)^3 \cdot 3! \cdot 16!} = \frac{4 \cdot 91 \cdot 12! \cdot 4! \cdot 4}{3! \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!} \)

\( P = \frac{4 \cdot 91 \cdot 24 \cdot 4}{6 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{4 \cdot 91 \cdot 96}{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{34944}{43680} \)

Упростим дробь:

\( P = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \)

Альтернативное решение:

Пусть Маша находится в какой-либо группе. Осталось 15 учеников, из которых нужно выбрать 3, чтобы они оказались в одной группе с Машей. Всего мест в этой группе — 3.

Вероятность того, что Даша окажется в той же группе, что и Маша, равна:

\( P = \frac{\text{количество мест для Даши в группе Маши}}}{\text{общее количество оставшихся мест}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \)

Ответ: \( \frac{1}{5} \).