[Начало формулировки обрезано] ... числа 3 5/6 и 0,3 и частное чисел 5 2/9 и 6 4/15 увеличить на 1,2.

Представим выражение:

\(\left(3\frac{5}{6}+0.3+\frac{5\frac{2}{9}}{6\frac{4}{15}}\right)+1.2\).

Преобразуем числа в дроби:

\(3\frac{5}{6}=\frac{23}{6}\), \(0.3=\frac{3}{10}\), \(5\frac{2}{9}=\frac{47}{9}\), \(6\frac{4}{15}=\frac{94}{15}\), \(1.2=\frac{6}{5}\).

Найдём частное:

\(\frac{47}{9}:\frac{94}{15}=\frac{47}{9}\cdot\frac{15}{94}=\frac{5}{6}\).

Тогда:

\(\frac{23}{6}+\frac{3}{10}+\frac{5}{6}+\frac{6}{5}=\frac{115}{30}+\frac{9}{30}+\frac{25}{30}+\frac{36}{30}=\frac{185}{30}=\frac{37}{6}=6\frac{1}{6}\).

Ответ: \(6\frac{1}{6}\).