Начертите треугольник ABC и отметьте не его любую точку M. Отразите M относительно вершины A и получите точку M₁. Теперь отразите M₁ относительно вершины B и получите точку M₂. Затем отразите M₂ относительно вершины C и получите точку M₃. Сделайте аналогичное построение для её нескольких точек M. Убедитесь, что точки M и M₃ симметричны относительно одного центра. Где он находится?

Обозначим векторы положения точек через строчные буквы. Отражение относительно точки означает, что эта точка является серединой отрезка, соединяющего исходную точку с её образом.

1. Отражение M относительно A: \(m_1=2a-m\).

2. Отражение M₁ относительно B: \(m_2=2b-m_1=2b-2a+m\).

3. Отражение M₂ относительно C: \(m_3=2c-m_2=2c-2b+2a-m\).

Следовательно, \(m+m_3=2(a-b+c)\). Середина отрезка MM₃ имеет положение \(a-b+c\), не зависящее от выбора M. Значит, M и M₃ симметричны относительно одной и той же точки.

Эта точка O определяется равенством \(o=a-b+c\). Иными словами, \(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BC}\): точка O — четвёртая вершина параллелограмма ABCO, где стороны AB и CO параллельны и равны, а стороны BC и AO параллельны и равны.

Ответ: центр симметрии O находится так, что ABCO — параллелограмм.