Накрест лежащие углы \(∠1\) и \(∠2\) равны. Найдите \(∠3\) и \(∠4\), если один из них на \(34°\) больше другого и \(∠C\) в треугольнике \(ABC\) – острый.

1. **Условие задачи:** * \(∠1 = ∠2\) (накрест лежащие углы) * Один из углов (\(∠3\) или \(∠4\)) на \(34°\) больше другого. * \(∠C\) (угол \(4\)) - острый, т.е. \(∠4 < 90°\). 2. **Обозначения:** * Пусть \(∠3 = x + 34°\) и \(∠4 = x\). 3. **Сумма углов треугольника:** * Сумма углов в треугольнике равна \(180°\). Значит, \(∠1 + ∠3 + ∠4 = 180°\). 4. **Свойство параллельных прямых:** * Поскольку углы \(∠1\) и \(∠2\) накрест лежащие и равны, то прямая, содержащая угол \(3\), параллельна стороне \(AC\). * Значит, \(∠1 = ∠2\), а углы \(∠2\) и \(∠4\) - соответственные, поэтому \(∠2 = ∠4\). 5. **Уравнение:** * Так как \(∠1 = ∠4\), то \(∠1 = x\). Подставим в уравнение суммы углов треугольника: \(x + (x + 34°) + x = 180°\). * \(3x + 34° = 180°\) * \(3x = 180° - 34°\) * \(3x = 146°\) * \(x = \frac{146°}{3} = 48.67°\) 6. **Значения углов:** * \(∠4 = x = 48.67°\) * \(∠3 = x + 34° = 48.67° + 34° = 82.67°\) Однако, данные значения не соответствуют предложенным вариантам ответов. Если предположить, что условие "один из них на 34° больше другого" относится к углам 3 и 4, то можно рассмотреть варианты ответов: 1. \(∠3 = 107°; ∠4 = 73°\): \(107 - 73 = 34°\), \(∠4 = 73° < 90°\) (острый). 2. \(∠3 = 39°; ∠4 = 73°\): \(73 - 39 = 34°\), \(∠4 = 73° < 90°\) (острый). 3. \(∠3 = 146°; ∠4 = 112°\): \(146 - 112 = 34°\), \(∠4 = 112° > 90°\) (не острый). 4. \(∠3 = 146°; ∠4 = 39°\): \(146 - 39 = 107° ≠ 34°\). Так как \(∠1 = ∠4\), то \(∠1 = 73°\) в обоих случаях (варианты 1 и 2). Рассмотрим сумму углов треугольника: \(∠1 + ∠3 + ∠4 = 180°\). * Вариант 1: \(73° + 107° + 73° = 253° ≠ 180°\). * Вариант 2: \(73° + 39° + 73° = 185° ≠ 180°\). Ни один из вариантов не подходит точно. Однако, если бы \(∠3 + ∠4 = 90°\), то треугольник был бы прямоугольным. Пусть \(∠4 = x\), тогда \(∠3 = x + 34°\), и \(x + x + 34° = 90°\). \(2x = 56°\) \(x = 28°\) Тогда \(∠4 = 28°\), \(∠3 = 62°\), и \(∠1 = 28°\). Поскольку ни один из предложенных вариантов не соответствует условию точно, выберем вариант, который наиболее близок и соответствует условию, что \(∠4\) должен быть острым, а разница между \(∠3\) и \(∠4\) равна \(34°\). Это вариант 1, где \(∠3 = 107°\) и \(∠4 = 73°\). **Ответ: 1) \(∠3 = 107°; ∠4 = 73°\)**