Напишите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок MN, где координаты точек M(-2; 3) и N(5; 4).

Сначала найдем координаты центра окружности, который является серединой отрезка MN. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат концов:

$$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-2 + 5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

$$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$$

Центр окружности: O(1.5; 3.5).

Теперь найдем радиус окружности, который равен половине длины отрезка MN. Длина отрезка вычисляется по формуле:

$$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$$

Радиус окружности: $$R = \frac{MN}{2} = \frac{\sqrt{50}}{2}$$.

Уравнение окружности с центром в точке O(1.5; 3.5) и радиусом $$R = \frac{\sqrt{50}}{2}$$ имеет вид:

$$\left(x - 1.5\right)^2 + \left(y - 3.5\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{50}}{2}\right)^2$$

$$\left(x - 1.5\right)^2 + \left(y - 3.5\right)^2 = \frac{50}{4}$$

$$\left(x - 1.5\right)^2 + \left(y - 3.5\right)^2 = 12.5$$