Натуральные числа \(a\) и \(b\) удовлетворяют условию НОК\([a,b]=30\) НОД\((a,b)\). Какие значения может принимать число \(\frac{|a-b|}{\text{НОД}(a,b)}\)?

Обозначим \(d=\text{НОД}(a,b)\), а \(a=dx\), \(b=dy\). Тогда \(\text{НОД}(x,y)=1\), а \(\text{НОК}(a,b)=dxy\). По условию \(dxy=30d\), поэтому \(xy=30\).

Разложим 30 на пары взаимно простых натуральных множителей: \((x,y)=(1,30),(2,15),(3,10),(5,6)\), а также пары в обратном порядке. Искомое выражение равно \(\frac{|dx-dy|}{d}=|x-y|\). Получаем значения 29, 13, 7 и 1.

Ответ: 1, 7, 13, 29.