Навколо квадрата описане коло і в квадрат вписане коло. Різниця площ кругів, обмежених цими колами, становить $$4\pi$$ см². Знайдіть сторону квадрата.

Давайте розв'яжемо задачу про квадрат, навколо якого описане коло і в який вписане коло.

Нехай сторона квадрата дорівнює $$a$$. Тоді:

• Радіус вписаного кола (тобто кола, вписаного в квадрат) дорівнює половині сторони квадрата: $$r_\text{впис} = \frac{a}{2}$$
• Радіус описаного кола (тобто кола, описаного навколо квадрата) дорівнює половині діагоналі квадрата. Діагональ квадрата дорівнює $$a\sqrt{2}$$, тому $$r_\text{опис} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Площа круга обчислюється за формулою: $$S = \pi r^2$$.

Тоді площа вписаного кола:

$$S_\text{впис} = \pi r_\text{впис}^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$$

Площа описаного кола:

$$S_\text{опис} = \pi r_\text{опис}^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$$

Різниця площ кругів дорівнює:

$$S_\text{опис} - S_\text{впис} = \frac{\pi a^2}{2} - \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{4}$$

За умовою, ця різниця дорівнює $$4\pi$$ см². Отже:

$$\frac{\pi a^2}{4} = 4\pi$$

Звідси знаходимо $$a^2$$:

$$a^2 = \frac{4 \cdot 4\pi}{\pi} = 16$$

І, нарешті, знаходимо сторону квадрата $$a$$:

$$a = \sqrt{16} = 4$$ см

Відповідь: Сторона квадрата дорівнює 4 см.