Навколо рівностороннього трикутника описане коло. Знайдіть: 1) периметр трикутника, якщо довжина кола дорівнює $$4\sqrt{3}\pi$$ см; 2) довжину кола, якщо периметр трикутника дорівнює 9 см.

Давайте розв'яжемо задачу про рівносторонній трикутник, описаний навколо кола.

1) Знаходження периметра трикутника, якщо відома довжина кола:

Довжина кола обчислюється за формулою: $$C = 2\pi r$$, де $$C$$ - довжина кола, $$r$$ - радіус кола.

За умовою, довжина кола дорівнює $$4\sqrt{3}\pi$$ см. Тоді:

$$2\pi r = 4\sqrt{3}\pi$$

Звідси, радіус кола:

$$r = \frac{4\sqrt{3}\pi}{2\pi} = 2\sqrt{3}$$ см

Для рівностороннього трикутника, описаного навколо кола, радіус кола пов'язаний зі стороною трикутника ($$a$$) наступним чином:

$$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Тоді сторона трикутника:

$$a = r\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$$ см

Периметр рівностороннього трикутника обчислюється за формулою: $$P = 3a$$. Отже,

$$P = 3 \cdot 6 = 18$$ см

Відповідь на 1 питання: Периметр трикутника дорівнює 18 см.

2) Знаходження довжини кола, якщо відомий периметр трикутника:

Якщо периметр трикутника дорівнює 9 см, то сторона трикутника:

$$a = \frac{P}{3} = \frac{9}{3} = 3$$ см

Радіус описаного кола:

$$r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ см

Довжина кола:

$$C = 2\pi r = 2\pi \sqrt{3}$$ см

Відповідь на 2 питання: Довжина кола дорівнює $$2\sqrt{3}\pi$$ см.

Відповідь: 1) 18 см, 2) $$2\sqrt{3}\pi$$ см