Найди объём прямой призмы, если АВ=5 см, ВС=3см, ∠ABC = 120° и наибольшая из площадей боковых граней равна 35см².

Дано:

• Прямая призма
• Основание: треугольник ABC
• AB = 5 см
• BC = 3 см
• ∠ABC = 120°
• Наибольшая площадь боковой грани = 35 см²

Решение:

1. Найдём длину стороны AC (основания треугольника). Используем теорему косинусов для треугольника ABC:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(120^{\circ}) \] \[ AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times (-\frac{1}{2}) \] \[ AC^2 = 25 + 9 + 15 = 49 \] \[ AC = \sqrt{49} = 7 \] см
2. Определим стороны основания призмы:
• a = AB = 5 см
• b = BC = 3 см
• c = AC = 7 см
3. Найдём высоту призмы (h). Наибольшая площадь боковой грани равна произведению наибольшей стороны основания на высоту призмы. В нашем случае наибольшая сторона основания - AC = 7 см.
\[ S_{бок.наиб.} = c \times h \] \[ 35 = 7 \times h \] \[ h = \frac{35}{7} = 5 \] см
4. Найдём площадь основания (S_осн). Площадь треугольника ABC равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:
\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(120^{\circ}) \] \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{осн} = \frac{15 \sqrt{3}}{4} \] см²
5. Найдём объём призмы (V).
\[ V = S_{осн} \times h \] \[ V = \frac{15 \sqrt{3}}{4} \times 5 \] \[ V = \frac{75 \sqrt{3}}{4} \] см³

Ответ: \( \frac{75 \sqrt{3}}{4} \) см³