Найти объём правильной п-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: a) n=3, б) n=4, в) n=6.

Решение:

Объём призмы V = S_осн × h. В данном случае, так как ребро призмы равно а, то высота призмы h = a. Нам нужно найти площадь правильного n-угольника (S_осн), сторона которого равна а.

Формула площади правильного n-угольника:
\[ S_{осн} = \frac{n \times a^2}{4 \times \tan(\frac{180^{\circ}}{n})} \]

Теперь подставим h = a и эту формулу площади в формулу объёма:

\[ V = \frac{n \times a^2}{4 \times \tan(\frac{180^{\circ}}{n})} \times a = \frac{n \times a^3}{4 \times \tan(\frac{180^{\circ}}{n})} \]

a) n = 3 (правильный треугольник):

Подставляем n=3 в формулу:

\[ V = \frac{3 \times a^3}{4 \times \tan(\frac{180^{\circ}}{3})} = \frac{3 \times a^3}{4 \times \tan(60^{\circ})} = \frac{3 \times a^3}{4 \times \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3} \times a^3}{4 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3 \]

б) n = 4 (квадрат):

Подставляем n=4 в формулу:

\[ V = \frac{4 \times a^3}{4 \times \tan(\frac{180^{\circ}}{4})} = \frac{a^3}{\tan(45^{\circ})} = \frac{a^3}{1} = a^3 \]

в) n = 6 (правильный шестиугольник):

Подставляем n=6 в формулу:

\[ V = \frac{6 \times a^3}{4 \times \tan(\frac{180^{\circ}}{6})} = \frac{6 \times a^3}{4 \times \tan(30^{\circ})} = \frac{6 \times a^3}{4 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{6 \sqrt{3} \times a^3}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^3 \]

Ответ:

• a) \( V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3 \)
• б) \( V = a^3 \)
• в) \( V = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^3 \)