НАЙДИ ОШИБКИ В РЕШЕНИИ. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x+4,&x\ge -4,\\\frac{16}{x},&x<-4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: НАЙДИ ОШИБКИ В РЕШЕНИИ. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x+4,&x\ge -4,\\\frac{16}{x},&x<-4.\end{cases}$…$ Фото задания

НАЙДИ ОШИБКИ В РЕШЕНИИ. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x+4,&x\ge -4,\\\frac{16}{x},&x<-4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Для первой части функции верно преобразование $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Ветвь параболы задана только при $x\ge -4$, поэтому её вершина — точка $(-2;0)$, а точка $(-4;4)$ принадлежит графику.

Для второй ветви $y=16/x$, где $x<-4$, значения функции лежат в интервале $(-4;0)$. Эта ветвь не содержит точек с ординатами $-4$ и $0$. При вычислении её значений необходимо подставлять отрицательные значения $x$, поэтому значения $16/x$ отрицательны.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

при $m=0$ парабола касается прямой в вершине, а дробная ветвь пересечений не даёт — всего одна точка;
при $0<m\le4$ парабола пересекается с прямой в двух точках;
при $m>4$ с заданной частью параболы есть одно пересечение, дробная ветвь пересечений не имеет;
при $-4<m<0$ дробная ветвь даёт одно пересечение;
при остальных значениях пересечений нет.

Следовательно, условию «ровно одна общая точка» отвечают $m=0$ и все $m>4$. В решении нужно учитывать область определения каждой ветви и не включать точку $x=-4$ в дробную ветвь.

Ответ: $m=0$ или $m>4$.