5*. Найди значение выражения наиболее удобным способом: (1/1⋅2)+(1/2⋅3)+(1/3⋅4)+...+(1/9⋅10).

Ответ: 9/10

• Шаг 1: Представим каждую дробь в виде разности двух дробей.

\[\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}\]\[\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\]\[\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\]\[\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}\]

• Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное выражение.

\[\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{9 \cdot 10} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})\]

• Шаг 3: Заметим, что все члены, кроме первого и последнего, сокращаются.

\[1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{10}\]

• Шаг 4: Вычислим результат.

\[1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\]

Ответ: 9/10