5*. Найди значение выражения наиболее удобным способом: 1 1 1 1 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ... + 9⋅10.

Ответ: \(\frac{9}{10}\)

• Представим каждую дробь в виде разности двух дробей:

\[\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}\]\[\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\]\[\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\]\[...\]\[\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}\]

• Тогда выражение можно переписать:

\[(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})\]

• Видим, что большинство дробей сокращаются:

\[1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\]

Ответ: \(\frac{9}{10}\)