572 Найдите: а) һ, а и в, если b = 25, a = 16; б) һ, а и ь, если b=36, a = 64; в) а, с и ас, если b = 12, b = 6; г) б, с и в, если а = 8, а = 4; д) п, б, а и вс, если а = 6, c = 9.

В задачах используются следующие обозначения для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и высотой CH: BC = a, CA = b, AB = c, CH = h, AH = bc, HB = ac.

а) Дано: bc = 25, ac = 16. Найти: h, a, b.

1. Высота, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: $$h = \sqrt{bc \cdot ac} = \sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{400} = 20$$.
2. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $$a = \sqrt{c \cdot ac}$$, $$b = \sqrt{c \cdot bc}$$.
3. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $$a^2 + b^2 = c^2$$.
4. Из этой формулы выразим гипотенузу: $$c = ac + bc = 16 + 25 = 41$$.
5. Теперь можем найти a и b: $$a = \sqrt{c \cdot ac} = \sqrt{41 \cdot 16} = 4\sqrt{41}$$, $$b = \sqrt{c \cdot bc} = \sqrt{41 \cdot 25} = 5\sqrt{41}$$.

б) Дано: bc = 36, ac = 64. Найти: h, a, b.

1. $$h = \sqrt{bc \cdot ac} = \sqrt{36 \cdot 64} = 6 \cdot 8 = 48$$.
2. $$c = ac + bc = 64 + 36 = 100$$.
3. $$a = \sqrt{c \cdot ac} = \sqrt{100 \cdot 64} = 10 \cdot 8 = 80$$, $$b = \sqrt{c \cdot bc} = \sqrt{100 \cdot 36} = 10 \cdot 6 = 60$$.

в) Дано: b = 12, bc = 6. Найти: a, c, ac.

1. $$c = \frac{b^2}{bc} = \frac{12^2}{6} = \frac{144}{6} = 24$$.
2. $$ac = c - bc = 24 - 6 = 18$$.
3. $$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$$.

г) Дано: a = 8, ac = 4. Найти: b, c, bc.

1. $$c = \frac{a^2}{ac} = \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16$$.
2. $$bc = c - ac = 16 - 4 = 12$$.
3. $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$.

д) Дано: a = 6, c = 9. Найти: h, b, ac, bc.

1. $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$.
2. $$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{5}}{9} = \frac{18\sqrt{5}}{9} = 2\sqrt{5}$$.
3. $$ac = \frac{a^2}{c} = \frac{36}{9} = 4$$.
4. $$bc = c - ac = 9 - 4 = 5$$.

Ответ: a) h = 20, a = $$4\sqrt{41}$$, b = $$5\sqrt{41}$$; б) h = 48, a = 80, b = 60; в) a = $$12\sqrt{3}$$, c = 24, ac = 18; г) b = $$8\sqrt{3}$$, c = 16, bc = 12; д) h = $$2\sqrt{5}$$, b = $$3\sqrt{5}$$, ac = 4, bc = 5.