675 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности ос- нований.

Пусть ABCD - трапеция, AD и BC - основания, M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно.

Докажем, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

Проведем через точку C прямую, параллельную BD, до пересечения с прямой AD в точке E. Тогда BCDE - параллелограмм, поэтому DE = BC и CE = BD.

Так как M и N - середины AC и BD, то M - середина AC, а N - середина CE. Следовательно, MN - средняя линия треугольника ACE, поэтому MN || AE и MN = 1/2 AE.

Так как AE = AD - DE = AD - BC, то MN = 1/2 (AD - BC), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.