Найдите AC и BD прямоугольника ABCD, если диагонали пересекаются в точке O, AB = 12 см, угол AOB равен 60°. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника ABCD.

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB. В треугольнике AOB угол при вершине O равен 60°, значит треугольник равносторонний.

1. OA = AB = 12 см.

2. AC = 2OA = 24 см. Так как диагонали прямоугольника равны, BD = AC = 24 см.

3. При соединении середин соседних сторон прямоугольника получается четырёхугольник, у которого каждая сторона равна половине диагонали прямоугольника: 24 : 2 = 12 см.

4. Периметр этого четырёхугольника равен 4 · 12 = 48 см.

Ответ: AC = BD = 24 см; периметр четырёхугольника — 48 см.