Найдите четвёртый член арифметической прогрессии, если третий её член равен 5, а пятый равен 31.

Решение:

1. Обозначим члены прогрессии: \( a_3 = 5 \), \( a_5 = 31 \).
2. Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + d(n-1) \)
3. Составим систему уравнений:\[ \begin{cases} a_3 = a_1 + 2d = 5 \\ a_5 = a_1 + 4d = 31 \end{cases} \]
4. Вычтем первое уравнение из второго:\[ (a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = 31 - 5 \] \[ 2d = 26 \] \[ d = 13 \]
5. Найдем первый член прогрессии:\[ a_1 + 2(13) = 5 \] \[ a_1 + 26 = 5 \] \[ a_1 = 5 - 26 = -21 \]
6. Найдем четвертый член прогрессии:\[ a_4 = a_3 + d = 5 + 13 = 18 \]

Ответ: 18