19. Найдите четырёхзначное число, которое в 5 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $$n$$ - натуральное число, куб которого в 5 раз больше искомого четырёхзначного числа $$x$$. Тогда можно записать: $$x = \frac{n^3}{5}$$ Так как $$x$$ - четырёхзначное число, то $$1000 \le x \le 9999$$. Подставим выражение для $$x$$: $$1000 \le \frac{n^3}{5} \le 9999$$ Умножим все части неравенства на 5: $$5000 \le n^3 \le 49995$$ Теперь найдем границы для $$n$$. Найдем кубический корень из 5000 и 49995. $$\sqrt[3]{5000} \approx 17{,}09$$ $$\sqrt[3]{49995} \approx 36{,}84$$ Так как $$n$$ - натуральное число, то $$18 \le n \le 36$$. Нам нужно найти такое $$n$$, чтобы $$n^3$$ делилось на 5. Это значит, что $$n$$ должно делиться на 5. Возможные значения $$n$$: 20, 25, 30, 35. Если $$n = 20$$, то $$x = \frac{20^3}{5} = \frac{8000}{5} = 1600$$ Если $$n = 25$$, то $$x = \frac{25^3}{5} = \frac{15625}{5} = 3125$$ Если $$n = 30$$, то $$x = \frac{30^3}{5} = \frac{27000}{5} = 5400$$ Если $$n = 35$$, то $$x = \frac{35^3}{5} = \frac{42875}{5} = 8575$$ Все эти числа четырёхзначные. В ответе укажем одно из этих чисел, например 1600. Ответ: 1600