Найдите ctg а, если cos а = \( \frac{\sqrt{19}}{10} \) и а \( \in (0; \frac{\pi}{2})\)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) и определением \( \text{ctg } a = \frac{\cos a}{\sin a} \).

1. Найдем \( \sin a \):
• \( \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \)
• \( \sin^2 a = 1 - \left(\frac{\sqrt{19}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{19}{100} = \frac{100 - 19}{100} = \frac{81}{100} \)
• Так как \( a \) находится в первой четверти \( (0; \frac{\pi}{2}) \), \( \sin a > 0 \).
• \( \sin a = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} \)
2. Найдем \( \text{ctg } a \):
• \( \text{ctg } a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\frac{\sqrt{19}}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{\sqrt{19}}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{\sqrt{19}}{9} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{19}}{9} \)