4. Найдите девятый член геометрической прогрессии $$\frac{1}{972}, \frac{1}{162}, \frac{1}{27}, \dots$$.

Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $$q$$: $$q = \frac{\frac{1}{162}}{\frac{1}{972}} = \frac{1}{162} \cdot \frac{972}{1} = \frac{972}{162} = 6$$ Первый член прогрессии $$b_1 = \frac{1}{972}$$. Девятый член геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^8$$ Подставим известные значения: $$b_9 = \frac{1}{972} \cdot 6^8 = \frac{6^8}{972} = \frac{6^8}{6^5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 6} = \frac{6^8}{6^5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 6} = \frac{6^8}{\frac{972}{1}} = \frac{1679616}{972} = 1728$$ **Ответ: 1728**