6. Найдите для функции у = -\frac{3}{x} а) область определения функции б) множество значений функции в) промежутки знакопостоянства г) промежутки монотонности

Пошаговое решение:

Рассмотрим функцию \(y = -\frac{3}{x}\).

а) Область определения функции

• Область определения — это все значения \(x\), при которых функция определена.
• Функция не определена, когда знаменатель равен нулю. В данном случае \(x
  eq 0\).

Ответ: Область определения: все числа, кроме 0, то есть \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

б) Множество значений функции

• Множество значений — это все значения \(y\), которые функция может принимать.
• Функция \(y = -\frac{3}{x}\) может принимать все значения, кроме 0, так как числитель не может быть равен нулю.

Ответ: Множество значений: все числа, кроме 0, то есть \(y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

в) Промежутки знакопостоянства

• Промежутки, где функция положительна (\(y > 0\)):
• Так как \(y = -\frac{3}{x}\), то \(-\frac{3}{x} > 0\).
• Это выполняется, когда \(x < 0\).

Ответ: Функция положительна на промежутке \((-\infty; 0)\).

• Промежутки, где функция отрицательна (\(y < 0\)):
• Так как \(y = -\frac{3}{x}\), то \(-\frac{3}{x} < 0\).
• Это выполняется, когда \(x > 0\).

Ответ: Функция отрицательна на промежутке \((0; +\infty)\).

г) Промежутки монотонности

• Производная функции: \(y' = \frac{3}{x^2}\)
• Функция возрастает, если производная положительна (\(y' > 0\)):
• Так как \(x^2 > 0\) для всех \(x
  eq 0\), то \(\frac{3}{x^2} > 0\) на всей области определения.

Ответ: Функция возрастает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\).