5. Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов меньше квадрата их суммы на 144.

5. Решим задачу:

Пусть $$n$$ и $$n + 1$$ - два последовательных натуральных числа. Тогда, по условию:

$$(n + 1 + n)^2 - (n^2 + (n+1)^2) = 144$$

$$(2n + 1)^2 - (n^2 + n^2 + 2n + 1) = 144$$

$$4n^2 + 4n + 1 - (2n^2 + 2n + 1) = 144$$

$$4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 1 = 144$$

$$2n^2 + 2n = 144$$

$$n^2 + n = 72$$

$$n^2 + n - 72 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$$

$$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 17}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 17}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

Так как $$n$$ - натуральное число, то $$n = 8$$. Тогда $$n + 1 = 8 + 1 = 9$$.

Ответ: Два последовательных натуральных числа: 8 и 9.