4). Найдите две стороны треугольника, если их сумма равна 91 см, а биссектриса, проведённая к третьей стороне, делит эту сторону в отношении 5:8.

4) Пусть дан треугольник, две стороны которого необходимо найти. Сумма двух сторон равна 91 см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит эту сторону в отношении 5:8.

• Пусть a и b - две стороны треугольника, сумма которых равна 91 см, то есть a + b = 91.
• Пусть биссектриса угла C делит сторону c на отрезки c₁ и c₂, такие, что c₁:c₂ = 5:8.
• По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $$ \frac{a}{b} = \frac{c_1}{c_2} $$.
• Так как c₁:c₂ = 5:8, то $$ \frac{a}{b} = \frac{5}{8} $$.
• Выразим a через b: a = (5/8)b.
• Подставим выражение для a в уравнение a + b = 91: $$ \frac{5}{8}b + b = 91 $$.
• Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{5b + 8b}{8} = 91 $$.
• $$ \frac{13b}{8} = 91 $$.
• Найдем b: $$ b = \frac{91 \cdot 8}{13} = \frac{728}{13} = 56 \text{ см}$$.
• Найдем a: $$ a = 91 - b = 91 - 56 = 35 \text{ см}$$.

Ответ: Стороны треугольника равны 35 см и 56 см.