514. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой - на 4 см больше высоты.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90°, CH - высота, проведённая к гипотенузе AB. AH = CH - 3, BH = CH + 4. Необходимо найти катеты AC и BC.

Пусть CH = x, тогда AH = x - 3, BH = x + 4.

1) По теореме о пропорциональных отрезках прямоугольного треугольника:

$$ CH^2 = AH \cdot BH $$ $$ x^2 = (x - 3)(x + 4) $$ $$ x^2 = x^2 + 4x - 3x - 12 $$ $$ x = 12 \text{ см} = CH $$

Тогда AH = 12 - 3 = 9 см, BH = 12 + 4 = 16 см.

2) По теореме о пропорциональных отрезках прямоугольного треугольника:

$$ AC^2 = AH \cdot AB $$ $$ AC^2 = 9 \cdot (9 + 16) = 9 \cdot 25 = 225 $$ $$ AC = \sqrt{225} = 15 \text{ см} $$

3) По теореме о пропорциональных отрезках прямоугольного треугольника:

$$ BC^2 = BH \cdot AB $$ $$ BC^2 = 16 \cdot (9 + 16) = 16 \cdot 25 = 400 $$ $$ BC = \sqrt{400} = 20 \text{ см} $$

Ответ: AC = 15 см, BC = 20 см.