513. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна 48 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу 36 см. Найдите стороны данного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90°, CH - высота, проведённая к гипотенузе AB, CH = 48 см, AH = 36 см. Необходимо найти стороны AC, BC и AB.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

$$ AC^2 = AH^2 + CH^2 $$ $$ AC^2 = 36^2 + 48^2 = 1296 + 2304 = 3600 $$ $$ AC = \sqrt{3600} = 60 \text{ см} $$

2) По теореме о пропорциональных отрезках прямоугольного треугольника:

$$ AC^2 = AH \cdot AB $$ $$ 3600 = 36 \cdot AB $$ $$ AB = \frac{3600}{36} = 100 \text{ см} $$

3) Тогда BH = AB - AH = 100 - 36 = 64 см.

4) По теореме о пропорциональных отрезках прямоугольного треугольника:

$$ BC^2 = BH \cdot AB $$ $$ BC^2 = 64 \cdot 100 = 6400 $$ $$ BC = \sqrt{6400} = 80 \text{ см} $$

Ответ: AC = 60 см, BC = 80 см, AB = 100 см.