3. Найдите координаты точек пересечения гиперболы $$y = \frac{4}{x}$$ с прямой $$y = x$$. Как расположены относительно этой прямой точки $$A(4; 1)$$ и $$B(1; 4)$$ гиперболы?

Для нахождения точек пересечения необходимо решить систему уравнений: $$\begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = x \end{cases}$$ Подставим $$y = x$$ в первое уравнение: $$x = \frac{4}{x}$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$ Таким образом, получаем две точки пересечения: $$(2, 2)$$ и $$(-2, -2)$$. Теперь определим расположение точек $$A(4; 1)$$ и $$B(1; 4)$$ относительно прямой $$y = x$$. Прямая $$y = x$$ является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Относительно этой прямой точки $$A$$ и $$B$$ симметричны. Это можно проверить следующим образом: если поменять координаты местами, то точка $$A(4, 1)$$ перейдет в точку $$B(1, 4)$$, и наоборот. Значит, точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$y = x$$.