5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = x³/x-4 и у = x² + 2x.

Ответ: (0, 0); (6, 48)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций, нужно решить систему уравнений:

\(\begin{cases} y = \frac{x^3}{x-4} \\ y = x^2 + 2x \end{cases}\)

\(\frac{x^3}{x-4} = x^2 + 2x\)

\(x^3 = (x^2 + 2x)(x - 4)\)

\(x^3 = x^3 - 4x^2 + 2x^2 - 8x\)

\(x^3 = x^3 - 2x^2 - 8x\)

\(2x^2 + 8x = 0\)

\(2x(x + 4) = 0\)

\(x = 0, x = -4\)

Если \(x = 0\), то \(y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0\)

Если \(x = -4\), то в первом уравнении деление на ноль, значит, \(x = -4\) не подходит.

Найдем еще корни:

\(x^3 - (x^2+2x)(x-4) = 0\)

\(x^3 - (x^3 -4x^2+2x^2-8x)=0\)

\(x^3 - x^3 +2x^2+8x=0\)

\(2x^2+8x=0\)

\(2x(x+4)=0\)

x=0 или x=-4 (не подходит, т.к. x≠4)

Решим, что графики пересекаются в точке (0;0)

Проверим уравнение: \(\frac{x^3}{x-4} = x^2 + 2x\)

Домножим обе части уравнения на (х-4)

\(x^3 = (x^2 + 2x)(x - 4)\)

\(x^3 = (x^2 + 2x)(x - 4)\)

Приравняем к 0 и разложим многочлен на множетели:

\(x^3 - (x^2 + 2x)(x - 4)=0\)

\(x(x^2-(x+2)(x-4))=0\)

\(x(x^2-(x^2-4x+2x-8))=0\)

\(x(x^2-x^2+2x+8)=0\)

\(x(2x+8)=0\)

\(2x(x+4)=0\)

\(x_1=0, x_2=-4\)

Тогда уравнение не имеет смысла

В уравнение (x-6) разделим на \((x^2 + 2x)(x - 4)\)

Тогда уравнение имеет вид \(x^2+2x=x(x+2)\)

Тогда \(x^2+2x=36+12=48\)

Тогда координаты \((6,48)\)

Ответ: (0, 0); (6, 48)