4. Найдите координаты точки M, лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек P(-1; 3) и K(0; 2).

Пусть точка M имеет координаты (x; 0), так как она лежит на оси абсцисс. Чтобы точка M была равноудалена от точек P и K, необходимо, чтобы расстояния MP и MK были равны. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Тогда: $$MP = \sqrt{(x - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 9}$$ $$MK = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{x^2 + 4}$$ Приравняем эти расстояния: $$\sqrt{(x + 1)^2 + 9} = \sqrt{x^2 + 4}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней: $$(x + 1)^2 + 9 = x^2 + 4$$ $$x^2 + 2x + 1 + 9 = x^2 + 4$$ $$2x + 10 = 4$$ $$2x = -6$$ $$x = -3$$ Таким образом, координаты точки M равны (-3; 0). Ответ: M(-3; 0)