4. В ΔABC AB = BC, ∠CAB = 30°, AE – биссектриса, BE = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Поскольку AB = BC, треугольник ABC – равнобедренный. Угол CAB равен 30°, значит, угол ACB также равен 30° (углы при основании равнобедренного треугольника равны). Следовательно, угол ABC = 180° - 30° - 30° = 120°. AE – биссектриса угла CAB, значит, угол CAE = EAB = 30° / 2 = 15°. Рассмотрим треугольник ABE. Угол EAB = 15°, угол ABE = 120°. Следовательно, угол AEB = 180° - 15° - 120° = 45°. Используем теорему синусов в треугольнике ABE: $$\frac{BE}{\sin(EAB)} = \frac{AB}{\sin(AEB)}$$ $$\frac{8}{\sin(15°)} = \frac{AB}{\sin(45°)}$$ $$AB = \frac{8 \cdot \sin(45°)}{\sin(15°)}$$ $$\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ $$AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$$ $$AB = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{16\sqrt{12} + 32}{6 - 2} = \frac{16 \cdot 2\sqrt{3} + 32}{4} = 8\sqrt{3} + 8$$ $$AB = 8(\sqrt{3} + 1)$$ Теперь найдем высоту h, проведенную к основанию AC: $$h = AB \cdot \sin(30°) = 8(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{1}{2} = 4(\sqrt{3} + 1)$$ $$AC = 2 \cdot AB \cdot \cos(30°) = 2 \cdot 8(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8(\sqrt{3} + 1)\sqrt{3} = 8(3 + \sqrt{3})$$ Площадь треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8(3 + \sqrt{3}) \cdot 4(\sqrt{3} + 1) = 16(3 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)$$ $$S = 16(3\sqrt{3} + 3 + 3 + \sqrt{3}) = 16(4\sqrt{3} + 6) = 64\sqrt{3} + 96$$ Ответ: Площадь треугольника ABC равна $$96 + 64\sqrt{3}$$ см².